# 3.7 自由度

自由度应用于从样本数据计算得到的统计量，指可以自由变化的值的个数。

例如，对于一个具有 10 个值的样本如果知道了样本的均值以及样本中的 9 个值，那么第 10 个值也是已知的，即只有 9 个值是自由变化的。

n，即样本规模
在数据中，观测(也称为行或记录)的数量。
d.f.
degrees of freedom(自由度)的简写。

自由度是很多统计检验的一个输入，例如，在计算方差和标准偏差时，分母 n-1 就是自由度。

在使用一个样本估计总体的方差时，如果在分母上使用了 n，那么估计的偏差就会偏小。
如果在分母上使用了 n-1，这时估计就是无偏的。

t 检验、F 检验等各种对假设的标准检验，占据了传统统计学课程或教材的大部分内容。

在传统的统计学公式中，如果使用了经过归一化的样本统计量，自由度就是归一化计算的一部分，
它确保了归一化的数据可以匹配适当的参考分布，如 t 分布、F 分布等。

答案是并非如此，至少就显著性检验而言并非如此。
一方面，在数据科学中，我们只是保守地使用了正式的统计检验。
另一方面，数据的规模通常会非常大，这使得对于数据科学家来说，分母是 n 还是 n-1 几乎没有区别。

有一种场景是与自由度相关的，那就是在回归(包括逻辑回归)中使用因子化变量。
如果在回归算法中使用了完全冗余的预测变量，那么算法就会产生阻塞。
该问题经常出现在将分类变量因子化为二元标识(虚拟变量)的情况下。

以星期为例，虽然一个星期有 7 天，但具体是星期几，其自由度为 6。
一旦我们知道某一天并不是从星期一到星期六中的任意一天，那么它一定是星期天。

因此，如果在回归中包括了星期一至星期六，就意味着也加入了星期天，而由于多重共线性(multicollinearity)问题，这将导致回归失败。

# 本节要点